Question

已知a＞0，b＞0，M=max{a，b，

1

a

+

4

b

}，则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：先讨论a，b的大小，确定出三个数中的最大者，然后再求出最大者的最小值．

解答： 解：①当0＜a≤b时，则

1

a

+

4

b

≥

5

b

，（1）
此时M=max{a，b，

1

a

+

4

b

}=max{b，

1

a

+

4

b

}（2）
由（1）（2）知minM=min（max{b，

5

b

}），
当b≥

5

时，b≥

5

b

，此时取b的最小值为

5

，
②当0＜b≤

5

时，

5

b

≥b，此时取

5

b

的最小值，当b=

5

时，

5

b

最小值为

5

；
当0＜b≤a时，则

1

a

+

4

b

≥

5

a

，此时M={a，

5

a

}，
同理可得当a=

5

时，minM=

5

．
综合①②可知M的最小值为

5

．
故答案为：

5

点评：此题难度较大，关键是对题意的理解要准确，即先找到三个数中的最大者，然后再求最大者的最小值．