Question

已知曲线S：y=-

2

3

x3+x2+4x及点P（O，0），则过点P的曲线S的切线方程为

y=4x或y=

35

8

x

．

Answer 1

分析：设出切点坐标，求出函数的导数，通过切线的斜率相等，求出切点坐标，然后求出切线方程，

解答：解：设曲线S：y=-

2

3

x3+x2+4x与过点P（0，0）的切线相切于点A（x₀，-

2

3

x03+x02+4x0），
则切线的斜率 k=y′

|

x=x0

=-2x₀²+2x₀+4，
∴切线方程为y-（-

2

3

x03+x02+4x0）=（-2x₀²+2x₀+4）（x-x₀），
∵点P（0，0）在切线上，
∴

2

3

x03-x02-4x0=2x₀³-2x₀²-4x₀，即

4

3

x₀³-x₀²=0，
解得x₀=0或x₀=

3

4

，所以切线的斜率为：4或

35

8

故所求的切线方程为：y=4x或y=

35

8

x．
故答案为：y=4x或y=

35

8

x．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．