Question

某种产品的年销售量y和该年广告费用支出x有关，现收集了5组观测数据列于下表：

x/万元	2	4	5	6	8	参考数据： 5 i=1 x 2 i =145， 5 i=1 y 2 i =13500， 5 i=1 xiyi=1380
y/万件	30	40	60	50	70

现确定以广告费用支出x为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析．
参考公式：

?

b

=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

，R2=1-

n i=1 (yi- ? y i)2

n i=1 (yi- . y )2

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi
（Ⅰ）作y和x的散点图，根据该图猜想它们之间是什么相关关系．
（Ⅱ）如果是线性相关关系，请用给出的最小二乘法公式求回归直线方程；否则说明它们之间更趋近于什么非线性相关关系．
（Ⅲ）假如2011年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预报该年的销售量y，并用R²的值说明解释变量对于预报变量变化的贡献率．

Answer 1

分析：（I）根据所给的对应的数据，写出对应的点的坐标，在坐标系中找出点的位置，画出散点图，根据散点图可知，它们成线性正相关关系．
（II）分别做出x，y的平均数，利用最小二乘法求出方程的系数b，再根据样本中心点在直线上做出a，写出线性回归方程．
（III）根据所求的线性回归方程，代入x=10，预报出对应的y的值，做出R²的值，解释变量对于预报变量变化的贡献率．

解答：解：（Ⅰ）散点图

根据散点图可知，它们成线性正相关关系
（Ⅱ）由数据表知

.

x

=

1

5

(2+4+5+6+8)=5，

.

y

=

1

5

(30+40+60+50+70)=50
有公式得：

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 x 2 i -5 . x 2

=

1380-5×5×50

145-5×52

=6.5，

?

a

=

.

y

-b

.

x

=50-6.5×5=17.5
因此，回归直线方程为

?

y

=6.5x+17.5
（Ⅲ）当x=10时，y=6.5×10+17.5=82.5（万元）
因此，预报该年的销量大约为82.5万件．
R2=1-

(-0.5)2+3.52+102+(-6.5)2+0.52

202+102+102+02+202

=0.84473≈0.84
因此，回归效果较好，广告费用支出能解释84%的销售量的变化．

点评：本题考查做出散点图，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法的应用，考查预报对应的y的结果，考查利用R²的值说明解释变量对于预报变量变化的贡献率，本题是一个综合题目．