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11.△ABC中,D是线段BC上的点,sin∠BAD:sin∠CAD=1:3,△ADC的面积是△ADB面积的2倍.
(1)求$\frac{sinB}{sinC}$;
(2)若AD=1,BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求DC和AB的长.

分析 (1)由题意可得AC=$\frac{2}{3}$AB,再利用正弦定理求得求得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{AC}{AB}$的值.
(2)由条件求得CD=2BD=$\sqrt{2}$,设AC=2k,则 AB=3k,△ADB中、△ADC中,分别利用余弦定理求得k的值,可得AB的值.

解答 解:(1)设∠BAD=θ,则由sin∠BAD:sin∠CAD=1:3,△ADC的面积是△ADB面积的2倍,
可得$\frac{1}{2}$•AD•AC•sin∠CAD=2•($\frac{1}{2}$AB•AD•sin∠BAD),求得AC=$\frac{2}{3}$AB.
在△ABD中,由正弦定理可得 $\frac{AD}{sinB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$ ①,△ACD中,由正弦定理可得$\frac{AD}{sin∠C}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$ ②.
由于∠ADB 和∠ADC互补,故sin∠ADB=sin∠ADC,
由①②求得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2}{3}$.
(2)∵△ADC的面积是△ADB面积的2倍,AD=1,BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$•AD•CD•sin∠ADC=2•($\frac{1}{2}$AD•BD•sin∠ADB),∴CD=2BD=$\sqrt{2}$.
设AC=2k,则 AB=3k,△ABD中,由余弦定理可得
AB2=9k2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB=1+$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$cos∠ADC ①,
△ADC中,由余弦定理可得 AC2=4k2=AD2+DC2-2AD•CD•cos∠ADC=1+2-2$\sqrt{2}$cos∠ADC②,
∴由①②求得 k=$\sqrt{\frac{6}{11}}$,∴AB=3k=3$\sqrt{\frac{6}{11}}$=$\frac{3\sqrt{66}}{11}$,AC=2k=2$\sqrt{\frac{6}{11}}$=$\frac{2\sqrt{66}}{11}$.

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,注意边角互换,属于中档题.

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