Question

在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点．若直线AB与抛物线y²=2px（p＞0）交于点C、D两点，
（1）求抛物线方程；
（2）求△OCD的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B，C的坐标，把C点坐标代入抛物线方程，求出p值，即可得到抛物线方程；
（2）联立方程组

y2=x x+y=2

得点D坐标，根据两点间的距离公式得出|CD|，再用点到直线的距离公式求原点到直线AB的距离，从而得出△OCD的面积．

解答：解：（1）∵A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，∴A（2，0），B（0，2）
∵C为AB的中点，∴C（1，1）
又∵抛物线y²=2px（p＞0）过点C，把C点坐标代入抛物线方程，得p=

1

2

，
∴抛物线方程为y²=x；
（2）联立方程组

y2=x x+y=2

得

x=1 y=1

或

x=4 y=-2

从而有D（4，-2），∴|CD|=

32+32

=3

2

，
又原点O到直线AB的距离d=

2

2

=

2

．
∴△OCD的面积S=

1

2

×|CD|×d=

1

2

×3

2

×

2

=3．

点评：本题主要考查了抛物线方程、抛物线的简单性质，以及点到直线的距离公式的应用．