Question

【题目】已知函数，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．

（Ⅰ）当m=时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数极大值为，极小值为 ；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）利用导数，通过的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果.

（Ⅱ）计算，采用分类讨论的方法，，以及，判断函数的单调性，可得结果.

（Ⅰ）

，则在递增，

在递减，在上递增，

所以函数极大值为，

极小值为．

（Ⅱ）

①当时，，

只有一个零点0，符合题意；

②当时，在单调递增，

在单调递减，在单调递增，

，

令，，

显然单调递减，有，即，

则只有一个零点，符合题意；

③当时，在单调递增，

在单调递减，在单调递增，

，，由②构造的函数知，

，

则只有一个零点，符合题意．

综上所述，时，函数有且只有一个零点．