Question

函数f（x）=x³+ax²-ax（a∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数在极值点的导数等于0，求得 a值．
（2）利用F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，得到 x∈[-3，-1]时，F′（x）≥0，
分区间在对称轴的左侧和右侧两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³+ax²-ax（a∈R），∴f′（x）=3x²+2ax-a，
由 f′（1）=0，得 a=-3．
（2）F（x）=f（x）-f′（x）=x³+ax²-ax-（3x²+2ax-a）=x³+（a-3）x²-3ax+a，
F′（x）=3x²+2（a-3）x-3a，
△=4（a-3）²-4×3×（-3a）=4（a²+3a+9）＞0恒成立，∴F′（x）＜0必有解．
易知函数F′（x）的图象为抛物线，对称轴为 x=1-

a

3

，
∵F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，∴x∈[-3，-1]时，F′（x）≥0，
∴

1- a 3 ≥-1 F′(-1)≥0

，或  

1- a 3 ≤ -3 F′(-3)≥0

，∴

a≤6 a≤ 9 5

，或 

a≥12 a≤5

，∴a≤

9

5

，
故a 的取值范围为（-∞，

9

5

）．

点评：本题考查函数在某区间上存在极值的条件，单调性与导数的关系，体现了分类讨论的数学思想．