Question

6．已知各项都为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$．数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{4{{a}^{2}}_{n}-1}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由条件可得a₁=1，再将n换为n-1，两式相减可得a_n-a_n-1=1，再由等差数列的通项公式可得a_n=n，则b_n=$\frac{1}{4{{a}^{2}}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和．

解答 解：S_n=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$，
当n＞1时，S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）}{2}$，
两式相减可得，2a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1，
即为a_n+a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=1，
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+1）}{2}$，
解得a₁=1，则a_n=1+n-1=n，
b_n=$\frac{1}{4{{a}^{2}}_{n}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则b_n的前n项的和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算化简能力，属于中档题．