Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F₁Q的中点，且QF₁⊥QF₂，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  5

• D、

  6

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于QF₁⊥QF₂，可得点Q在圆x²+y²=c²．与y=

b

a

x联立可得Q的坐标，再利用中点坐标公式可得P，代入直线y=

b

a

x，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：如图所示，
∵QF₁⊥QF₂，
∴点Q在圆x²+y²=c²．
联立

x2+y2=c2 y= b a x

，解得

x=a y=b

．
∴Q（a，b）．
∴线段F₂Q的中点P（

a-c

2

，

b

2

）．
代入直线y=-

b

a

x可得

b

2

=-

b

a

×

a-c

2

，
化为c=2a，∴e=

c

a

=2．
故选：B．

点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的性质、中点坐标公式等基础知识，属于中档题．