【题目】设函数,其中,,为常数.
(1)若,,试讨论函数的单调区间;
(2)若函数在上单调递增,且,证明:,并求的最小值(用,的代数式表示).
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(1)函数的定义域为,求导可得.据此分类讨论:
若,,在上单调递增;
若,,在上单调递减;
若,,在上单调递减,在上单调递增;
若,,在上单调递增,在上单调递减;
(2)函数在上单调递增,则对任意实数均成立,
取实数,,有,据此讨论可得.
证明问题来说明c的最小值为:
构造函数,,可证明,则恒成立,据此可得成立.
试题解析:
(1)解:依题意得的定义域为,当时,.
若,,则,从而在上单调递增;
若,,则,从而在上单调递减;
若,,令,得,列表如下:
极小值 |
若,,令得,列表如下:
极大值 |
(2)证明:函数在上单调递增,则对任意实数均成立,
取实数,,则两式相加得:,
令,则,从而.
又由,当时,,若,则不恒成立,又,从而,从而.
下证.
记,,,由于,
在点处的切线方程为:.
接下来,我们证明,
构造函数,.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
从而,故成立.
考虑到直线与直线斜率相等,即它们平行,
又由于恒成立,从而恒成立,
即,即.
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【题目】已知等差数列和等比数列,其中的公差不为0.设是数列的前n项和.若,,是数列的前3项,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若数列为等差数列,求实数t;
(3)构造数列,,,,,,,,,…,,,,…,,….若该数列前n项和,求n的值.
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【题目】若函数在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“飘移点”.
Ⅰ试判断函数及函数是否有“飘移点”并说明理由;
Ⅱ若函数有“飘移点”,求a的取值范围.
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
A1 | 上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元.且各种投保类型的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆车,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
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【题目】下列说法中错误的是( )
A.先把高二年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生,其编号为,然后抽取编号为,,,……的学生,这种抽样方法是系统抽样法.
B.一组数据的方差为,平均数为,将这组数据的每一个数都乘以2,所得的一组新数据的方差和平均数为,.
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1.
D.若一组数据1,,3的平均数是2,则该组数据的方差是.
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【题目】某快餐代卖店代售多种类型的快餐,深受广大消费者喜爱.其中,种类型的快餐每份进价为元,并以每份元的价格销售.如果当天20:00之前卖不完,剩余的该种快餐每份以元的价格作特价处理,且全部售完.
(1)若该代卖店每天定制份种类型快餐,求种类型快餐当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:份,)的函数解析式;
(2)该代卖店记录了一个月天的种类型快餐日需求量(每天20:00之前销售数量)
日需求量 | ||||||
天数 |
(i)假设代卖店在这一个月内每天定制份种类型快餐,求这一个月种类型快餐的日利润(单位:元)的平均数(精确到);
(ii)若代卖店每天定制份种类型快餐,以天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率,求种类型快餐当天的利润不少于元的概率.
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【题目】已知圆: 经过椭圆: 的左右焦点,且与椭圆在第一象限的交点为,且三点共线,直线交椭圆于, 两点,且().
(1)求椭圆的方程;
(2)当三角形的面积取得最大值时,求直线的方程.
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