Question

（2012•洛阳模拟）设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1≤x≤

7

4

，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题设知：|x-1|+|x-2|-3＞0，分类讨论解绝对值不等式，求出不等式的解集，即得函数f（x）
的定义域．
（II）不等式f（x）≥0 即m≥

2-|x-1|

|x-2|

．由1≤x≤

7

4

，可得 m≥1+

1

2-x

．根据单调性求出y=1+

1

2-x

  的
最大值为 5，由此可得m≥5．

解答：解：（I）由题设知：|x-1|+|x-2|-3＞0，
∴

x≥2 x-1+x-2＞3

 ①，或 

1≤x＜2 x-1-x+2＞3

 ②，或

x ＜1  -x+1-x+2＞3

 ③．
解①可得 x＞3，解②可得x∈∅，解③可得 x＜0．
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为 （-∞，0）∪（3，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x-1|+m|x-2|-3≥1，即 m≥

2-|x-1|

|x-2|

．
∵1≤x≤

7

4

，∴m≥

2-(x-1)

2-x

=

2-x+1

2-x

=1+

1

2-x

，即 m≥1+

1

2-x

．
由于函数y=1+

1

2-x

在[1，

7

4

]上是增函数，故当x=1时，y 取得最小值为2；当x=

7

4

时，y 取得最大值为 5，
由题意可得，m大于或等于y的最大值 5，故m的取值范围是[5，+∞）．

点评：本题主要考查求函数的定义域和值域，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．