Question

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

Answer 1

（1）-2，65°26′扇形的面积为S=r²=（-2）r²

（2）当=2 rad时，扇形的面积取最大值

解析:

（1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,

所以扇形的周长是2r+r.

依题意，得2r+r=r,

∴=-2=(-2)×

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,

∴扇形的面积为S=r²=（-2）r².

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,

即l=20-2r (0＜r＜10)                                           ①

扇形的面积S=lr，将①代入，得

S=(20-2r)r=-r²+10r=-(r-5)²+25,

所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时

l=20-2×5=10,==2.

所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.