已知F1.F2分别是椭圆的左.右焦点.现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M.N.若过F1的直线MF1是圆F2的切线.则椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．已知F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，现以F₂为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F₁的直线MF₁是圆F₂的切线，则椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

分析如图所示，由题意可得：MF₁⊥MF₂，|MF₂|=c，|MF₁|=2a-c，|F₁F₂|=2c，利用勾股定理可得c²+（2a-c）²=4c²，即可得出．

解答解：如图所示，
由题意可得：MF₁⊥MF₂，
|MF₂|=c，|MF₁|=2a-c，|F₁F₂|=2c，
∴c²+（2a-c）²=4c²，
化为c²+2ac-2a²=0，即e²+2e-2=0，e∈（0，1）．
解得e=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

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A．

（0，$\frac{2\sqrt{6}}{5}$]

B．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

C．

[$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，1）

D．

（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

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