Question

14．若函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，说明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（-x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合m的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值．

解答 解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
∴f（x）=f（-x）．
设x≥0，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+m）^{2}，}&{x≤0}\\{（x-m）^{2}，}&{x＞0}\end{array}\right.$…（6分）
当m≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，
∴x=1时${y_{max}}={（1-m）^2}$
当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m²＜f（1）=（1-m）²，
∴x=1时${y_{max}}={（1-m）^2}$
当$m≥\frac{1}{2}$时，
∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0时${y_{max}}={m^2}$
综上所述：当$m＜\frac{1}{2}$时，${y_{max}}=f（1）={（1-m）^2}$；
当$m≥\frac{1}{2}$时，${y_{max}}=f（0）={m^2}$…（12分）

点评 本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．