Question

【题目】已知n为正整数，试比较n2与2n的大小．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：从n=1开始逐个验证，得出一般规律，猜想当时，n2＜2n，用数学归纳法证明即可。也可以通出画出的图像，就知道需要逐个验证找到分界。

试题解析：　当n＝1时，n2＜2n；

当n＝2时，n2＝2n；

当n＝3时，n2＞2n；

当n＝4时，n2＝2n；

当n＝5时，n2＜2n;

当n＝6时，n2＜2n.

猜想：当n≥5且n∈N*时，n2＜2n.

下面用数学归纳法证明：

①当n＝5时，由上面的探求可知猜想成立；

②假设当n＝k(k≥5且k∈N*)时，猜想成立，即2k＞k2，

则当n＝k＋1时，2·2k＞2k2，

∵2k2－(k＋1)2＝k2－2k－1＝(k－1)2－2，

当k≥5时，(k－1)2－2＞0，

∴2k2＞(k＋1)2，

从而2k＋1＞(k＋1)2，

所以当n＝k＋1时，猜想也成立．

综合①②可知，对于n∈N*，猜想都成立．