Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；②f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，f(

1

2

)=1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜1．

Answer 1

分析：（1）通过赋值法，x=y=0，求出f（0）=0；
（2）说明函数f（x）的奇偶性，通过令y=-x，推出对于任意的x∈R，恒有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数．
（3）f（2x-1）＜1即f（2x-1）＜f（

1

2

），根据函数的单调性，即可求满足f（2x-1）＜1的实数x的集合．

解答：解：（1）取x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x∈（-1，1），则f(x)+f(-x)=f(

x-x

1-x2

)=f(0)=0，
∴f（-x）=-f（x）
则f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（3）不等式可化为

-1＜2x-1＜1 2x-1＜ 1 2

⇒

0＜x＜1 x＜ 3 4

⇒0＜x＜

3

4

∴解集为(0，

3

4

)

点评：本题是综合题，考查赋值法求函数值的应用，函数奇偶性的判断与证明，函数图象的应用，不等式的解法．运算能力，理解能力要求比较高．