Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，直线AB的斜率为k，有k=f′（x₀）成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，
而当x＞0时，．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，这
是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）假设存在，不妨设0＜x₁＜x₂.=．（9分）
．
若k=f′（x₀），则，即，即．（*）（12分）
令，（0＜t＜1），
则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，满足条件的x₀不存在．（16分）
分析：（I）求出导函数，令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出a的范围，从而求出a的最小值．
（II）利用两点连线的斜率公式求出k并且化简k，求出f′（x₀）列出方程，通过换元构造新函数，通过导数判断出函数的单调性，求出最值，得到矛盾．
点评：解决是否存在这种探索性的问题，常假设存在去求，若求出则存在，若求不出则不存在．