Question

在△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别a、b、c，B=

2π

3

，a=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）=sin2x+4cosAcos²x的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a=2csinA，由正弦定理，即可求角C的大小；
（Ⅱ）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）因为a=2csinA，由正弦定理得sinA=2sinCsinA，…（2分）
因为A∈（0，π），所以sinA≠0，解得sinC=

1

2

． …（4分）
又因为B=

2π

3

，所以C∈(0，

π

2

)，所以C=

π

6

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=

π

6

．…（8分）
所以f(x)=sin2x+2

3

cos2x=sin2x+

3

(1+cos2x)=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin(2x+

π

3

)+

3

．…（11分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
所以f（x）的最大值是2+

3

．…（13分）

点评：本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．