Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R）．若y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，
（Ⅰ）求a、b；     
（Ⅱ）求y=f（x）的极大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，切点（1，-

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）在函数f（x）的图象上，可得f（1）=-

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3

，再根据导数的几何意义，即可得f′（1）=-4，求解方程组，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的解析式，求出f′（x）=0的根，判断根左右的单调性，结合极大值的定义，即可求得y=f（x）的极大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

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3

x³+ax²-bx（a，b∈R），
∴f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，-

11

3

）处的切线斜率为-4，
∴f（1）=-

11

3

，且f′（1）=-4，
∴

1 3 +a-b=- 11 3 1+2a-b=-4

，
∴

a=-1 b=3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=-1，b=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x，
∴f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f′（x）=0，解得x=-1，x=3，
∴当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	?↘	极小值	↗

∴当x=-1时，f（x）取极大值

5

3

，
∴y=f（x）的极大值为

5

3

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数在某点处取得极值的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．