Question

设F是抛物线G：x²=4y的焦点，点P是F关于原点的对称点．
（Ⅰ）过点P作抛物线G的切线，若切点在第一象限，求切线方程；
（Ⅱ）试探究（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5，m∈R的位置关系．

Answer 1

解：（ I）设切点（x₀＞0）．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程． （2分）
即． （4分）
∵抛物线x²=4y的焦点为F（0，1），点P是F关于原点的对称点
∴P（0，-1）
因为点P（0，-1）在切线上．
所以，
∴，
∵x₀＞0
∴x₀=2． （6分）
∴所求切线方程为y=x-1． （7分）
（Ⅱ） x²+（y-m）²=5，m∈R半径为，圆心（0，m）到直线x-y-1=0的距离
若或时，x-y-1=0与圆相离，（9分）
若或时，x-y-1=0与圆相切，（11分）
若时，x-y-1=0与圆相交，（13分）
综上，若或时（Ⅰ）中抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相离，
若或时（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相切，
若时（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5相交 （14分）
分析：（ I）利用导数求切线的斜率，假设切线方程，利用切点在切线上，即可求得切线方程；
（Ⅱ）探求圆心到切线的距离与圆的半径的关系，从而确定（Ⅰ）中的抛物线G的切线与动圆x²+（y-m）²=5，m∈R的位置关系．
点评：本题重点考查抛物线的切线，考查直线与圆的位置关系，解题时运用导数为工具，利用圆心到直线的距离与半径的关系，研究直线与圆的位置关系．