Question

6．某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）满足关系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a为常数），已知销售价格4万元/吨时，每天可售出该产品9吨．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由销售价格为4万元/吨时，每日可销售出该商品9吨，建立方程，即可得到a的值；
（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的函数，再用求基本不等式和二次函数求得最值，从而得出最大值对应的x值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得x=4，p=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a为常数），
可得21-4a=9，解得a=3；
（Ⅱ）由上面可得P=$\left\{\begin{array}{l}{21-3x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$，
该商品所获得的利润为y=P（x-3）=$\left\{\begin{array}{l}{3（7-x）（x-3），3＜x≤6}\\{（x-3）（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}），6＜x≤9}\end{array}\right.$，
当3＜x≤6时，y=3（7-x）（x-3）≤3（$\frac{7-x+x-3}{2}$）²=12，
当且仅当x=5时，取得最大值12；
当6＜x≤9时，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=7+$\frac{63}{x}$-$\frac{252}{{x}^{2}}$=-252（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{175}{16}$，
当x=8时，取得最大值$\frac{175}{16}$．
综上可得x=5时，取得最大值12．
即有当销售价格为5万元/吨时，该产品每天的利润最大且为12万元．

点评 本题考查分段函数的解析式的求法，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和配方结合二次函数的最值求得，属于中档题．