Question

（06年湖南卷文）（14分）

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a_n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.

（Ⅰ）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式；

（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….

Answer 1

解析：（Ⅰ）由已知得，

　　.

    （Ⅱ）因为，

　　　　　所以.

          又因为，

　　　　　所以

　　　　　　　　　　　　　 =.

          综上，.