Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足4S_n=(a_n+1)².
(1)求{a_n}的通项公式；(2)设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n,求T_n的最小值.

Answer 1

（1）a_n=2n-1；（2）.

试题分析：(1)本小题可化归为a_n+1=S_n+1-S_n，整理为4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n再因式分解为2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，即可得到a_n+1-a_n=2，根据等差数列的定义，可知{a_n}为等差数列，易得其通项公式；（2）本小题b_n通项公式先进行裂项，利用裂项相消法可求得T_n的值，可证明T_n+1>T_n，易知{T_n}为递增数列，则最小值为T₁.
试题解析：(1)因为(a_n+1)²=4S_n,所以S_n=,S_n+1=.
所以S_n+1-S_n=a_n+1=即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n, ∴2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n).
因为a_n+1+a_n≠0,所以a_n+1-a_n=2,即{a_n}为公差等于2的等差数列.由(a₁+1)²=4a₁,解得a₁=1,所以a_n=2n-1.
(2)由(1)知b_n==,∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
∵T_n+1-T_n=
∴T_n+1>T_n，∴数列{T_n}为递增数列，∴T_n的最小值为T₁=.与的关系：，等差数列的定义，裂项相消法，递增数列的定义.