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12.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$(t为参数)
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线L的普通方程
(2)设曲线C与直线L相交于P,Q两点,求|PQ|

分析 (1)由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,能求出曲线C的直角坐标方程,消去参数t能求出直线L的普通方程.
(2)曲线C是以C(2,0)为圆心、以2为半径的圆,先求出圆心C(2,0)到直线L:x-$\sqrt{3}y$-5=0的距离,由此利用勾股定理能求出|PQ|.

解答 解:(1)∵曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,
∴ρ2=4ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.
∵直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$(t为参数),
∴消去参数得直线L的普通方程为:x-$\sqrt{3}y$-5=0.
(2)∵曲线C:(x-2)2+y2=4是以C(2,0)为圆心、以2为半径的圆,
圆心C(2,0)到直线L:x-$\sqrt{3}y$-5=0的距离:
d=$\frac{|2-5|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$,
又曲线C与直线L相交于P,Q两点,
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{7}$.

点评 本题考查曲线C的直角坐标方程与直线L的普通方程的求法,考查弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化.

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