Question

10．已知函数f（x）=x²-2x+a1nx．a∈R．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-1=0平行，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若a＞0，函数g（x）=f（x）+2x+2a|lnx-1|，求函数g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上的最小值．（注：e是自然对数的底数．）

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a=-1；
（2）求得f（x）的导数，2x²-2x+a的判别式为4-8a，讨论大于0，小于0，等于0，由求根公式和不等式的解法，可得单调区间；
（3）运用分段函数的形式，求得g（x）的解析式，再运用导数讨论各段的单调性，可得最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2x+a1nx的导数为f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为k=a，
切线与直线x+y-1=0平行，即有a=-1；
（2）由f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，x＞0，
即有2x²-2x+a的判别式为4-8a，
①若4-8a≤0，即a≥$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）递增；
若4-8a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$，2x²-2x+a=0的两根为x₁=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$或x₂=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
②若a=0即有x₂=0，f（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减；
③若0＜a＜$\frac{1}{2}$，f（x）在（x₁，+∞），（0，x₂）递增，在（x₂，x₁）递减，
④若a＜0，f（x）在（0，x₁）递减，在（x₁，+∞）递增；
（3）函数g（x）=f（x）+2x+2a|lnx-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-alnx+2a，\frac{1}{e}≤x≤e}\\{{x}^{2}+3alnx-2a，x＞e}\end{array}\right.$，
当$\frac{1}{e}$≤x≤e时，g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$，
若a≥2e²，即有g′（x）≤0，g（x）递减，即有x=e处取得最小值e²+a；
若0＜a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$时，g′（x）≥0，g（x）递增，即有x=$\frac{1}{e}$处取得最小值3a+$\frac{1}{{e}^{2}}$；
若$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜2e²时，g（x）在（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{\frac{a}{2}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{a}{2}}$，e）递增，
即有x=$\sqrt{\frac{a}{2}}$处取得最小值，且为$\frac{5a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$；
当x＞e时，g′（x）=2x+$\frac{3a}{x}$＞0恒成立，
即有g（x）在（e，+∞）递增，无最小值；
综上可得，当a≥2e²，g（x）的最小值为e²+a；
当0＜a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$时，g（x）的最小值3a+$\frac{1}{{e}^{2}}$；
当$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜2e²时，g（x）的最小值为$\frac{5a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．