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已知函数m(x)=lnx,h(x)=-
1
6
x3+ax-
4
3
,a∈R
(Ⅰ)若函数f(x)=m(x)-h(x),当a=
3
2
时,求f(x)在[1,+∞)的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)=m(x)-h(x)在定义域内不单调,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)证明:
n
k=1
(
6k2-3k-1
6k3
)<ln(n+1),n∈N*
考点:利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
专题:导数的综合应用
分析:(Ⅰ)a=
3
2
时,f(x)=lnx+
1
6
x3-
3
2
x+
4
3
,求f′(x),判断f′(x)的符号,即可判断f(x)在[1,+∞)上单调递增,根据单调性即可求出f(x)在[1,+∞)的最小值f(1)=0;
(Ⅱ)f(x)=lnx+
1
6
x3-ax+
4
3
,f(x)在定义域内不单调,即说明f′(x)=
1
x
+
1
2
x2-a=0
有解,即
1
x
+
1
2
x2=a
有解,根据基本不等式
1
x
+
1
2
x2=
1
2x
+
1
2x
+
1
2
x2
3
2
,所以a
3
2
,而由(Ⅰ)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>
3
2

(Ⅲ)通过观察不等式的形式,可以想着用(Ⅰ)的结论:f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(x)=lnx-(-
1
6
x3+
3
2
x-
4
3
)>0,即-
1
6
x3+
3
2
x-
4
3
<lnx
,所以令x=
n+1
n
带入即得
6n2-3n-1
6n3
<ln(
n+1
n
)
,所以对不等式进行从1到n求和之后即可得到该问的结论.
解答: 解:(Ⅰ)a=
3
2
时,f(x)=lnx+
1
6
x3-
3
2
x+
4
3
,f′(x)=
1
x
+
1
2
x2-
3
2
=
(x-1)2(x+2)
2x

∵x≥1,∴f′(x)≥0;
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值是f(1)=0;
(Ⅱ)f(x)=lnx+
1
6
x3-ax+
4
3
,f′(x)=
1
x
+
1
2
x2-a
,则方程
1
x
+
1
2
x2-a=0
有解,即
1
x
+
1
2
x2=a
有解;
1
x
+
1
2
x2
=
1
2x
+
1
2x
+
1
2
x2≥3
3(
1
2
)3
=
3
2

a≥
3
2

由(Ⅰ)知a=
3
2
时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,所以a
3
2

即实数a的取值范围是(
3
2
,+∞)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,且f(x)=lnx-(-
1
6
x3+
3
2
x-
4
3
)>0;
-
1
6
x3+
3
2
x-
4
3
<lnx
,取x=
n+1
n
,n∈N*
,则:
-
1
6
(
n+1
n
)3+
3
2
n+1
n
-
4
3
=
6n2-3n-1
6n3
<ln
n+1
n

n
k=1
(
6k2-3k-1
6k3
)<
ln
2
1
+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
=ln(n+1);
n
k=1
(
6k2-3k-1
6k3
)<ln(n+1)
点评:考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法,根据单调性求函数的最小值,以及基本不等式:a+b+c≥3
3abc
,a,b,c>0
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