Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的周长为$\sqrt{3}$+1且sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC．  
（1）求边c的长；
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{3}$sinC，求角C的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意及正弦定理，得$a+b+c=\sqrt{3}+1$，且$a+b=\sqrt{3}c$，两式相减即可得解．
（2）由已知及三角形面积公式可求ab的值，由余弦定理，得cosC的值，结合∠C是△ABC的内角，即可求的C的值．

解答 解：（1）由题意及正弦定理，得$a+b+c=\sqrt{3}+1$，…（2分）
又sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，故$a+b=\sqrt{3}c$，…（4分）
两式相减，得c=1．…（6分）
（2）由△ABC的面积$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{3}sinC$，得$ab=\frac{2}{3}$…（9分）
由余弦定理，得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{{（a+b）}^2}-2ab-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，…（12分）
又∵∠C是△ABC的内角…（14分）
∴C=60°．…（16分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，熟练掌握公式及定理的应用是解题的关键，属于中档题．