Question

【题目】设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）． （Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与 的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜ 对任意x＞0成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+ ，

∴g'（x）= ，令g′（x）=0得x=1，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，

因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，

从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．

（II）

设 ，则h'（x）=﹣ ，

当x=1时，h（1）=0，即 ，

当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，

当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即 ，

当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即 ．

（III）由（I）知g（x）的最小值为1，

所以，g（a）﹣g（x）＜ ，对任意x＞0，成立g（a）﹣1＜ ，

即Ina＜1，从而得0＜a＜e．

【解析】（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，判断两个函数的大小关系即可．（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．