分析 (1)推导出PA⊥平面ABC,从而BC⊥PA,又BC⊥CA,从而BC⊥平面PAC,由此能证明平面PBC⊥平面PAC.
(2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,利用向量法能求出在直线AC上存在点$CD=\sqrt{6}$,使得直线BD与平面PBC所成角为30°.
解答 证明:(1)∵∠PAB=∠PAC=90°,∴PA⊥AB,PA⊥AC.
∵AB∩AC=A,∴PA⊥平面ABC.…(1分)
∵BC?平面ABC,∴BC⊥PA.…(3分)
∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵PA∩CA=A,∴BC⊥平面PAC.…(5分)
∵BC?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC.…6分
解:(2)由已知及(1)所证可知,PA⊥平面ABC,BC⊥CA,
∵PA=1,AB=2,BC=$\sqrt{2}$.
∴以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图的空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),B(0,$\sqrt{2}$,0),P($\sqrt{2},0,1$),
$\overrightarrow{CB}=({0,\sqrt{2},0}),\overrightarrow{CP}=({\sqrt{2},0,1})$,
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)是平面PBC的法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$,则取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,0,-$\sqrt{2}$),…(9分)
设直线AC上的点D满足$\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{CA}$,则$\overrightarrow{CD}=({\sqrt{2}λ,0,0})$,
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=({0,-\sqrt{2},0})+({\sqrt{2}λ,0,0})=({\sqrt{2}λ,-\sqrt{2},0})$,
∵直线BD与平面PBC所成角为30°,∴$sin{30°}=\frac{{|n•\overrightarrow{BD|}}}{{|n|•\overrightarrow{|BD|}|}}=\frac{{|\sqrt{2}λ|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ^2}+2}}}=\frac{1}{2}$,
解得$λ=±\sqrt{3}$,…(11分)
∴在直线AC上存在点$CD=\sqrt{6}$,使得直线BD与平面PBC所成角为30°.…(12分)
点评 本题考查面面垂直的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 9 | B. | 18 | C. | 36 | D. | 72 |
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