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    用2n个相同的元件（例如整流二极管）组成一个系统，有两种不同的连接方式，第Ⅰ种是先串联后并联，如图一：第Ⅱ种是先并联后串联，如图二．如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为r（元件或系统能正常工作的概率通常称为可靠度）．

    （1）分别求出图一和图二系统能正常工作的概率P1和P2；
    （2）请你比较一下两个系统哪一个更可靠一些（即可靠度更大一些）？并加以证明．

    解：（1）对于图一，有P1=rn（2-rn）
    对于图二，有P2=rn（2-r）n
    （2）n=1时，P1=P2，n≥2时，（2-r）n＞2-rn
    证明：①n=2时，左边=4-4r+r2，∵2r＜r2+1，∴左边＞右边
    ②假设n=k（k≥2）时，（2-r）k＞2-rk成立，则当n=k+1时，
    ∵2-r＞r＞0，∴（2-r）k＞rk，又0＜r＜1，∴（1-r）[（2-r）k-rk]＞0
    ∴（2-r）k+1＞（2-r）k+rk-rk+1，
    由归纳假设知命题成立，
    由①、②知，n≥2时，（2-r）n＞2-rn．
    分析：（1）根据第Ⅰ种是先串联后并联；第Ⅱ种是先并联后串联，每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为r，可知有P1=rn（2-rn），P2=rn（2-r）n
    （2）可得结论n=1时，P1=P2，n≥2时，（2-r）n＞2-rn，再用数学归纳法证明．
    点评：本题以实际问题为载体，考查概率知识，要注意区分两种连接方式，并注意数学归纳法的证题步骤．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （1）分别求出图一和图二系统能正常工作的概率P1和P2；
    （2）请你比较一下两个系统哪一个更可靠一些（即可靠度更大一些）？并加以证明．

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