Question

11．函数f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$的值域是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根据解析式便可看出，可以分子分母同除以x，从而需讨论x是否为0：x=0时，便有f（x）=0；x≠0时，原函数可以变成$f（x）=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，这样根据基本不等式便可求出$x+\frac{1}{x}$的范围，从而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的范围，从而得出f（x）的范围，再并上f（x）=0便可得出该函数的值域．

解答 解：①若x=0，f（x）=0；
②x≠0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$；
∴1）x＞0时，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴$0＜f（x）≤\frac{1}{2}$；
2）x＜0时，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1时取“=”；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）＜0$；
∴综上得函数f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
故答案为：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．

点评 考查函数值域的概念，基本不等式在求值域中的应用，注意基本不等式所具备的条件，不要漏了x=0的情况．