Question

11．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁，S₃，S₂成等差数列，且a₁-a₃=3，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求S_n，并求满足S_n≤2的n的值．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q，由S₁，S₃，S₂成等差数列，且a₁-a₃=3，可得2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），${a}_{1}（1-{q}^{2}）$=3，解出即可得出．
（II）利用等比数列的前n项和公式，并对n分类讨论即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，∵S₁，S₃，S₂成等差数列，且a₁-a₃=3，
∴2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），${a}_{1}（1-{q}^{2}）$=3，
解得a₁=4，q=-$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=4×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）S_n=$\frac{4[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．，
当n为奇数时不满足，
当n为偶数时，S_n=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$=$\frac{8}{3}$$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$≤2，
解得n=2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其的前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．