Question

已知过点M（-3，-3）的直线l被圆C：x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4

5

．
（1）指出⊙C的圆心C的坐标和半径r，判断点M与⊙C的位置关系，并说明理由．
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆化成标准方程得x²+（y+2）²=25，即可得到圆心C的坐标和半径r，进而可得点M与⊙C的位置关系；
（2）根据垂径定理得圆心到弦的距离d=

5

，设直线l方程为y+3=k（x+3），利用点到直线的距离公式列式解出k的值，即可得到所求直线l的方程．

解答：解：（1）圆C：x²+y²+4y-21=0化成标准方程为x²+（y+2）²=25
∴⊙C的圆心C的坐标为（0，-2），半径r=5
∵点M（-3，-3）满足（-3）²+（-3+2）²＜25
∴点M在⊙C的内部；
（2）设直线l方程为y+3=k（x+3），化简得kx-y-3+3k=0
∵圆心坐标为（0，-2），半径为r=5，
直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4

5

，
∴根据垂径定理，得圆心到弦的距离d=

r2-(2 5 )2

=

5

即得

|2-3+3k|

k2+1

=

r2-(2 5 )2

=

5

，解得k=2或k=-

1

2

，
所以直线l的方程为y+3=2（x+3）或y+3=-

1

2

（x+3），即2x-y+3=0或x+2y+9=0．

点评：本题给出圆的方程和点M坐标，求经过点M被圆截得弦长为定值的直线l方程．着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．