Question

设三角函数f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)，其中k≠0．
（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数f(x)=sin(

kπ

5

+

π

3

)最大值为1，最小值为-1，ω=

kπ

5

进而根据T=

2π

ω

可得函数的周期．
（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知

10π

|k|

≤1，可得k的范围．

解答：解：（1）M=1，m=-1，T=

5×2π

|k|

=

10π

|k|

．
（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．
而任意两个整数间的距离都≥1，
因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，
必须且只须使f（x）的周期≤1，
即：

10π

|k|

≤1，|k|≥10π=31.4．
可见，k=32就是这样的最小正整数．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质．属基础题．