Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，0），其导函数f'（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）时，f（x）为整数的个数记为a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（3）令bn=

1

an•an+1

，记{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜

1

10

．

Answer 1

分析：（1）先根据f（0）=0求得c，进而对函数f（x）的解析式求导，进而求得b和a．
（2）先根据题意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1进而求得 a_n+1两式相减可推断数列{a_n}是等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，进而利用裂项法求和进行放缩即得．

解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）当x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）时，f（x）为整数的个数记为a_n．
∴a₁=5，
∵f（x）在x∈[n，n+1]上单调递增，
∴a_n=f（n+1）-f（n）+1=2n+3．
（3）b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+3

-

1

2n+5

），
{b_n}的前n项和 S_n=

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

-

1

2n+5

）=

1

2

（

1

5

-

1

2n+5

）＜

1

10

．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和用裂项法数列求和．高考中数列题往往与不等式、函数等知识综合考查，属于中档题．