Question

（2010•济宁一模）已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

3

2

，P为椭圆上一动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A、M为动点，且

1

5

|

F2A

|2，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）过点M作C₂的切线l交于C₁与Q、R两点，求证：

OQ

•

OR

=0．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C₁的方程，利用离心率为e=

3

2

，可得a=2b．由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF₁F₂的面积最大，根据△PF₁F₂面积的最大值为

3

，建立方程，即可求得椭圆C₁的方程；
（2）用坐标表示向量，利用

1

5

|

F2A

|2，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差数列，建立方程，整理可得M的轨迹C₂的方程；
（3）l的斜率存在时，设l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，借助于坐标表示

OQ

•

OR

，结合l与C₂相切，可得

OQ

•

OR

=0；当l的斜率不存在时，l：x=±

2 5

5

，代入椭圆方程，求出Q，R的坐标，即可证得结论．

解答：（1）解：设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，c=

a2-b2

，∴

c

a

=

3

2

，所以a=2b．
由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF₁F₂的面积最大，故

1

2

|F1F2|b=bc=

3

，∴a=2，b=1，
故所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）解：由（1）知A（0，1），F₁=（-

3

，0），设M（x，y）则

F2A

=(-

3

，1)，

F2M

=(x-

3

，y)，

AM

=(x，y-1)，

AF1

=(-

3

，-1)
由题意得

F2M

•

AM

=

1

5

|

F2A

|2+

AF1

•

OM

，∴x(x-

3

)+y(y-1)=

4

5

-

3

x-y
整理得M的轨迹C₂的方程为x2+y2=

4

5

；
（3）证明：l的斜率存在时，设l方程为y=kx+m，代入椭圆方程并整理得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
△=（8km）²-16（m²-1）（1+4k²）＞0，
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），∴x1+x2=-

8mk

1+4k2

，x1

x

2

=

4m2-4

1+4k2

所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x 2)+m2，
则

OQ

•

OR

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=

(1+k2)(4m2-4)

1+4k2

-

8m2k2

1+4k2

+m2=

5m2-4k2-4

1+4k2

又因为l与C₂相切，所以

|m|

1+k2

=

2 5

5

，∴5m²-4k²-4=0
所以

OQ

•

OR

=0，
当l的斜率不存在时，l：x=±

2 5

5

，代入椭圆方程解得Q(

2 5

5

，

2 5

5

)，R(

2 5

5

，-

2 5

5

)或Q(-

2 5

5

，

2 5

5

)，R(-

2 5

5

，-

2 5

5

)，此时

OQ

•

OR

=

4

5

-

4

5

=0
综上所述，

OQ

•

OR

=0

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．