Question

17．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若在双曲线上存在点P，使得∠F₁PF₂=90°，且满足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么双曲线的离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先根据∠F₁PF₂=90°，且满足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，确定三角形的各角的大小，进一步确定各边长，从而确定双曲线的离心率．

解答 解：由题意，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°
∵|F₁F₂|=2c 
∴|PF₂|=c，|PF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴2a=$\sqrt{3}$c-c
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查的知识点：双曲线定义的应用，双曲线的离心率．