Question

3．过点P（4，6）的圆x²+y²=16的切线方程为5x-12y+52=0或x=4．

Answer 1

分析 首先，圆x²+y²=16的圆心为原点，半径为4，然后讨论：当过点P（4，6）的直线斜率不存在时，方程是x=4，通过验证圆心到直线的距离，得到x=4符合题意；当过点P（4，6）的直线斜率存在时，设直线方程为y-6=k（x-4），根据圆心到直线的距离等于半径4，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程．最后综合可得答案．

解答 解：圆x²+y²=16的圆心为原点，半径为4
（1）当过点P（4，6）的直线垂直于x轴时，
此时直线斜率不存在，方程是x=4，
因为圆心O（0，0）到直线的距离为d=4=r，所以直线x=4符合题意；
（2）当过点P（4，6）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y-6=k（x-4）
即kx-y-4k+6=0
∵直线是圆x²+y²=16的切线
∴点O（0，0）到直线的距离为d=$\frac{|-4k+6|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解之得k=$\frac{5}{12}$，此时直线方程，整理得5x-12y+52=0
综上所述，得切线方程为切线方程为5x-12y+52=0或x=4．
故答案为：5x-12y+52=0或x=4．

点评 本题借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，属于基础题．