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(2009•昆明模拟)已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x正半轴上,倾斜角为锐角的直线l过F点.设直线l与抛物线交于A、B两点,与抛物线的准线交于M点,
MF
FB
,其中λ>0
(I)若λ=1,求直线l的斜率;
(II)若点A、B在x轴上的射影分别为A1、B1,且|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差数列,求λ的值.
分析:(I)先确定p=λ(x2-
p
2
),进而求出B的坐标,即可求直线l的斜率;
(II)直线方程代入抛物线方程,求得A1、B1的横坐标,根据|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差数列,可得|
B1F
|+2|
A1F
|=2|
OF
|,从而可得x2-2x1=
p
2
,由此可求λ的值.
解答:解:依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,k>0,M的纵坐标为y0
则F(
p
2
,0),准线方程为x=-
p
2
,直线l的方程为y=k(x-
p
2
),M(-
p
2
,y0),y2>0
因为
MF
FB
,所以(p,-y0)=λ(x2-
p
2
,y0),故p=λ(x2-
p
2

(I)若λ=1,由p=λ(x2-
p
2
),y22=2px2,y2>0,得x2=
3p
2
,y2=
3
p,
故点B的坐标为(
3p
2
3
p

所以直线l的斜率k=
3
p-0
3p
2
-
p
2
=
3
   (5分)
(II)联立y2=2px,y=k(x-
p
2
),消去y,可得k2x2-(k2p+2p)x+
k2p2
4
=0,则x1x2=
p2
4

x2=
p
λ
+
p
2
 (7分)
x1=
p2
4x2
=
λp
2λ+4
  (9分)
因为|
B1F
|,|
OF
|,2|
A1F
|成等差数列,
所以|
B1F
|+2|
A1F
|=2|
OF
|,
故(x2-
p
2
)+2(
p
2
-x1)=p,即x2-2x1=
p
2

x2=
p
λ
+
p
2
x1=
λp
2λ+4
代入上式得
1
λ
=
λ
λ+2

因为λ>0,所以λ=2.   (12分)
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查等差数列的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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