Question

（2012•闵行区三模）如果数列{a_n}满足2a_n+2+a_n=0（n∈N^*），且a₁=1，a₂=

1

2

，那么

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

1

．

Answer 1

分析：由2a_n+2+a_n=0（n∈N^*）可得a_n+2=-

1

2

a_n，从而可判断a₁，a₃，a₅，…，及a₂，a₄，a₆，…，均为无穷递缩等比数列，由公式即可求得极限．

解答：解：由2a_n+2+a_n=0（n∈N^*）得，a_n+2=-

1

2

a_n，
又a₁=1，a₂=

1

2

，
所以a₁，a₃，a₅，…，构成首项为1，公比为-

1

2

的等比数列；a₂，a₄，a₆，…，构成首项为

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列，
故

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

1

1-(- 1 2 )

+

1 2

1-(- 1 2 )

=

2

3

+

1

3

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查数列极限、等比数列的前n项和，考查学生观察分析能力、解决问题的能力．