Question

直线y=x+3与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1（　　）

A．没有交点

B．只有一个交点

C．有两个交点

D．有三个交点

Answer 1

分析：分x≥0时和x＜0时两种情况，分别讨论直线y=x+3与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1的交点个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：当x≥0时，曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1方程可化为：

y2

9

-

x 2

4

=1…①
将y=x+3代入①得：5x²-24x=0，解得x=0或，x=

24

5

，
即此时直线y=x+3与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1有两个交点；
当x＜0时，曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1方程可化为：

y2

9

+

x 2

4

=1…①
将y=x+3代入①得：13x²+24x=0，解得x=0（舍去）或，x=-

24

13

，
即此时直线y=x+3与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1有一个交点；
综上所述直线y=x+3与曲线

y2

9

-

x|x|

4

=1有三个交点
故选：D

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，分类讨论思想是解答本题的关键．