Question

已知一个数列{a_n}的前n项和是Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明{a_n}不是等差数列．

Answer 1

分析：（1）令n=1，利用等式Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3直接可以求出a₁的值，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，求出n≥2时a_n的表达式，然后求出a₁的值，是否与（1）问求出a₁的值相符，
（3）由（2）问可知，当n≥2时，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差数列，a₁不满足等式，故可证明{a_n}不是等差数列．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
∴a₁=S₁=

1

4

+

2

3

+3=

47

12

，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，
a_n=

1

4

n2+

2

3

n+3-

1

4

（n-1）²-

2

3

（n-1）-3=

1

2

n-

5

12

，
当n=1时，a₁=

1

12

，
∴a_n=

1 2 n- 5 12   n≥2 47 12    n=1

，
（3）当n≥2，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差数列，当n=1时，a₁不满足等式，
故{a_n}不是等差数列．

点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定的知识点，解答本题的关键是由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n的表达式，此题难度一般．