Question

设函数f（x）=ax+

1

x+b

(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，求其对称中心的坐标；
（3）设直线l是过曲线y=f（x）上一点P（x₀，y₀）的切线，求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析：（I）先根据求导公式和法则求出导数，再结合条件和导数的几何意义，列出方程组进行求解，利用条件进行取舍；
（Ⅱ）由函数y₁=x，y2=

1

x

都是奇函数，可得它们的和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再由图象平移法则，得到函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点（x0，x0+

1

x0-1

），利用导数的几何意义和点斜式求出过此点的切线方程，令x=1得切线与直线x=1交点，令y=x得切线与直线y=x交点．再由利用三角形的面积公式求得所围三角形的面积为定值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=a-

1

(x-b)2

，
∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
∴

a- 1 (2-b)2 =0 2a+ 1 2+b =3

，解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3

，
∵a、b∈Z，∴

a=1 b=-1

，
则f（x）=x+

1

x-1

，
（Ⅱ）证明：由函数y₁=x，y2=

1

x

都是奇函数得，函数g（x）=x+

1

x

也是奇函数，
则g（x）的图象是以原点为中心的中心对称图形，
∵f（x）=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1，
∴将函数g（x）的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
∴函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+

1

x0-1

），则由（I）得，f′(x0)=1-

1

(x0+1)2

，
∴过此点的切线方程为：y-（x0+

1

x0-1

）=（1-

1

(x0+1)2

）（x-x0），
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切线与直线x=1交点为（1，

x0+1

x0-1

），
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1）．
∵直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
∴所围三角形的面积为

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x₀-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

|||2x0-2|=2，
故所围三角形的面积为定值2．

点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．