Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，ln2）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式 ＞mx﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），

∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f'（2）），

则y﹣（2ln2+2a﹣2f'（2））=f'（2）（x﹣2），

代入（﹣4，2ln2）得：2ln2﹣2ln2﹣2a+2f'（2）=﹣6f'（2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x）在（0，+∞）单调递减

（2）解： 恒成立 ，

令 ，

∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，

∵φ（1）=0，

∴ ，

∴ 在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0．

【解析】（1）求出函数的导数，求出a的值，得到导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为 ，令 ，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．