Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

1

2

，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的一个端点，|AB|=2

7

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于P、Q两点且|

PE

|=|

QE

|，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得

c

a

=

1

2

，

a2+b2

=2

7

，a²=b²+c²，联立解得即可；
（2）假设存在直线l与椭圆交于P、Q两点且|

PE

|=|

QE

|，设直线l：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点M（x₀，y₀）．与椭圆的方程联立可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，得到△＞0，12+16k²＜m²．利用根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系可得m=-3-4k²，代入△解出即可．

解答： 解：（1）由题意可得

c

a

=

1

2

，

a2+b2

=2

7

，a²=b²+c²，
联立解得a=4，c=2，b²=12．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假设存在直线l与椭圆交于P、Q两点且|

PE

|=|

QE

|，
设直线l：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点M（x₀，y₀）．
联立

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，化为（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）＞0，
化为12+16k²＜m²．
∴x₁+x₂=

-8km

3+4k2

=2x₀，解得x0=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
∴

y0-1

x0

=

3m-3-4k2

-4km

=-

1

k

，
化为m=-3-4k²，
∴12+16k²＜（3+4k²）²，
化为16k⁴+8k²-3＞0，解得k2＞

1

4

，
∴k＞

1

2

或k＜-

1

2

．
因此存在直线l与椭圆交于P、Q两点且|

PE

|=|

QE

|．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0、根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．