Question

已知f（x）=x²ln（ax）（a>0）。
（1）若曲线y=f（x）在x=处的切线斜率为3e，求a的值；
（2）求f（x）在[，]上的最小值。

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²·=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（）=[2ln（a·）+1]，
∴a=1。
（2）由题知x>0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，则2ln（ax）+1=0，得x=，
①当a≥1时，≤
当x∈[，]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[，]上是增函数，
∴[f（x）]_min=f（）==（lna-）；
②当＜a＜1时，。
当x∈[，）时，f′（x）＜0；
当x∈[，]时，f′（x）>0，
∴f（x）在[，]上是减函数，
在[，]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（）=；
③当0＜a≤时，
当x∈时，f′（x）＜0，
∴f（x）在上是减函数，
∴[f（x）]_min=f（）=elna=e（lna+）。