Question

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

4π

3

；
（实验班必做题）
函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立，则a=

（1，4]

．

Answer 1

分析：（1）由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，其高为2，底面半径为1；下面是一个与圆锥底面同底的半球，半径为1．据此即可计算出答案；
（2）利用导数和分类讨论方法即可求出．

解答：解：（1）由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，其高为2，底面半径为1；下面是一个与圆锥底面同底的半球，半径为1．
∴V=

1

3

×π×12×2+

1

2

×

4

3

π×13=

4π

3

；
（2）利用分类讨论方法：
函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立?[f（x）]_min≥0，x∈[-1，1]．
由已知可得：f^′（x）=3ax²-3，
①当a≤0时，f^′（x）＜0，∴函数f（x）在[-1，1]上单调递减，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，与a≤0矛盾，故舍去；
②当0＜a≤1时，

1

a

≥1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≤0，即函数f（x）在[-1，1]上单调递减，∴[f（x）]_min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，无解；
③当a＞1时，0＜

1

a

＜1，由x∈[-1，1]可得f′(x)=3a(x+

1

a

)(x-

1

a

)≥0，即函数f（x）在[-1，1]上单调递增，∴[f（x）]_min=f（-1）=4-a≥0，解得a≤4，∴1＜a≤4；
综上可知：1＜a≤4．

点评：由三视图正确恢复原几何体和熟练掌握利用导数研究函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．