Question

对于函数y=f（x），若存在开区间D，同时满足：①存在t∈D，当x＜t时，函数f（x）单调递减，当x＞t时，函数f（x）单调递增；②对任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），则称y=f（x）为D内的“勾函数”．
（1）证明：函数y=|log_ax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
（2）若D内的“勾函数”y=g（x）的导函数为y=g′（x），y=g（x）在D内有两个零点x₁，x₂，求证：＞0；
（3）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x）=λx³-λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）内为“勾函数”？若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）只证明0＜a＜1．
设0＜a＜1，则f（x）=，
取t=1，则函数f（x）=log_ax在区间（0，1]上单调递减；f（x）=-log_ax在区间（1，+∞）上单调递增，因此满足条件①．
任取x∈（0，1），则1-x，（1+x）∈（0，+∞），而log_a（1-x）-（-log_a（1+x））=＞0，即满足条件②．
由以上证明可知：当0＜a＜1时，函数y=|log_ax|（1＞a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
当a＞1时，同理可证．
综上可知：函数y=|log_ax|（a＞0，a≠1）为（0，+∞）内的“勾函数”；
（2）设勾函数y=g（x）的定义域为（a，+∞）（a＞0），且g（x）在区间（a，t）单调递减；在区间（t，+∞）内单调递增；
因为存在两个零点，设g（x₁）=g（x₂）=0，不妨设x₁＜x₂，由题意可得a＜x₁＜t＜x₂，∴g（t-（t-x₁））＞g（t+t-x₁），化为g（x₁）＞g（2t-x₁），
∴g（x₂）＞g（2t-x₁），
∵g（x）在区间（t，+∞）内单调递增，∴x₂＞2t-x₁，∴，
∴．
（3）h^′（x）=λ（x-2λ）（x+λ），令h^′（x）=0，解得x=2λ或-λ．
①当λ＞0时，列表如下：
由表格可知：h（x）在区间（-λ，+∞）上满足“勾函数”的第一个条件；
但是当0＜x＜2λ时，h（2λ-x）-h（2λ+x）=＜0，不满足“勾函数”的第二个条件．
因此此时函数h（x）表示“勾函数”．
②当λ＜0时，不满足“勾函数”的第一个条件．
故不存在m使函数h（x）=λx³-λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）内为“勾函数”．
分析：（1）通过对底数a分类讨论，利用对数函数的单调性和“勾函数”的定义即可证明结论；
（2）利用“勾函数”的定义及已知条件即可证明；
（3）利用“勾函数”的定义中的两个条件判断是否满足即可．
点评：熟练掌握对数函数的单调性、“勾函数”的定义、利用导数研究函数的单调性是解题的关键．