Question

函数f（x）满足：（ⅰ）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ⅱ）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．给出如下三个结论：
①函数f（x）在区间[1，2]单调递减；
②函数f（x）在点(

1

2

，

3

4

)处的切线方程为4x+4y-5=0；
③若[f（x）]²-2f（x）+a=0有实根，则a的取值范围是0≤a≤1．
其中正确结论的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：利用函数的周期性与单调性判断①的正误；利用函数的切线方程判断②的正误；通过函数的值域判断③的正误．

解答：解：因为函数f（x）满足：（i）?x∈R，f（x+2）=f（x），（ ii）x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1．
对于①，由题意可知函数在[-1，0]上是增函数，函数的周期为2，所以函数f（x）在区间[1，2]单调递减，是不正确的；
对于②，函数x∈[-1，1]，f（x）=-x²+1，所以f′（x）=-2x，在点(

1

2

，

3

4

)处的切线的斜率为：-1，
切线方程为：y-

3

4

=-（x-

1

2

）即切线方程为4x+4y-5=0，正确；
对于③，函数f（x）∈[0，1]，若[f（x）]²-2f（x）+a=0有实根，
所以

△≥0 02-2×0+a≥0 12-2×1+a≤0

，
可得0≤a≤1，则a的取值范围是0≤a≤1．正确．
故选C．

点评：本题考查命题的真假，函数的导数的应用切线方程的求法，二次函数根的分布，数列求和，以及函数的零点，考查知识面广，解答需要仔细认真．