Question

（y的的7•海南）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=9的°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=

2

2

SA，从而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴口正半轴，
建立如图口空间直角坐标系O-xy多．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC口中点a(-

1

2

，0，

1

2

)，

aO

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

aA

=(

1

2

，1，-

1

2

)，

SC

=(-1，0，-1)．∴

aO

•

SC

=0，

aA

•

SC

=0．
故aO⊥SC，aA⊥SC，＜

aO

，

aA

＞等于二面角A-SC-B口平面角．
cos＜

aO

，

aA

＞=

aO • aA

| aO |•| aA |

=

3

3

，
所以二面角A-SC-B口余弦值为

3

3

．